Échantillonnage stochastique efficace par modèle Bernoulli mélange de gaussiennes pour la résolution des problèmes inverses parcimonieux

Soutenance de thèse de Mehdi Chahine AMROUCHE

Lieu : Salle Pyrénées de l’Oservatoire Midi-Pyrénées

Résumé de la thèse :

Cette thèse aborde la résolution des problèmes inverses parcimonieux quand les données observées peuvent être considérées comme une combinaison linéaire d’un faible nombre d’éléments dits <<atomes>> (e.g., impulsions, réponse instrumentale décalée ou sinusoïdes). Ces problèmes sont rencontrés dans différents domaines d’application, allant du contrôle non destructif ultrasonore, à la spectroscopie et l’analyse spectrale. Dans le contexte bayésien, ces problèmes peuvent être abordés en considérant des modèles a priori sur les paramètres d’intérêts, prenant en compte la parcimonie de façon explicite via l’introduction de variables binaires (e.g., modèle Bernoulli-Gaussien). L’estimation des paramètres se fait ensuite en calculant un estimateur de type espérance a posteriori à partir d’échantillons générés par des méthodes Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC). L’avantage majeur des méthodes MCMC dans le contexte bayésien, par rapport aux approches d’optimisation déterministes, est la possibilité d’intégrer sans grande difficulté l’estimation des hyper-paramètres du modèle (e.g., la variance du bruit d’observation) ainsi que de se placer dans un cadre semi-aveugle ou aveugle, c’est-à-dire des cas où les atomes sont partiellement ou totalement inconnus. Cependant, ces méthodes MCMC sont généralement très coûteuses en temps de calcul et nécessitent d’être manipulées avec soin afin de garantir leur convergence. Des approches d’échantillonnage efficace s’appuyant sur le Partially Collapsed Gibbs Sampler (PCGS) ont été développées dans le cas du modèle Bernoulli-Gaussien. Cependant, elles ne peuvent pas être utilisées dès que l’on souhaite considérer d’autres a priori parcimonieux, avec des lois à longues queues (e.g., Bernoulli-Laplace) qui sont préférables à la Gaussienne, car elles induisent une moindre régularisation ; ou avec des lois à support réduit (e.g., Bernoulli-Exponentiel) afin de garantir une contrainte de non-négativité. On est alors restreint à l’utilisation des méthodes MCMC classiques coûteuses en temps de calcul. L’objectif de cette thèse est de réconcilier l’échantillonnage PCGS avec des modèles prenant en compte la parcimonie de façon explicite autres que le modèle Bernoulli-Gaussien. La principale contribution est l’introduction et l’étude d’un nouveau modèle a priori dit <<Bernoulli Mélange de Gaussiennes>> (BMG). Ce dernier repose sur les lois de mélange continu de Gaussiennes et permet l’amélioration des propriétés de convergence des méthodes MCMC grâce à une implémentation numérique efficace d’algorithmes PCGS. D’autre part, le modèle est présenté dans un cadre général, permettant de prendre en compte, de manière systématique, de nombreuses lois de probabilité. Pour ces travaux, nous avons exploité des lois de probabilité de la famille LSMG (Location and Scale Mixture of Gaussians), peu étudiée dans la littérature, que nous avons caractérisées plus précisément. Une deuxième contribution majeure consiste à étendre le champ d’application du modèle BMG aux lois de probabilité à support réduit. Ainsi, nous avons proposé une nouvelle approche d’approximation de lois de probabilité dénommée <<asymptotically Exact Location-Scale Approximations>> (ELSA) pour laquelle nous avons montré le bon comportement, à la fois en théorie et en pratique et avons montré empiriquement son efficacité par rapport aux approches de l’état de l’art. Enfin, l’efficacité du nouveau modèle BMG, de son échantillonneur PCGS et des approximations ELSA est étudiée et validée dans le cadre des problèmes inverses parcimonieux sur un exemple de déconvolution de train d’impulsions.

Composition du jury de thèse :

• Jean-François GIOVANNELLI, Rapporteur, Laboratoire de l’Intégration du Matériau au Système UMR 5218 – Université de Bordeaux 1
• Pierre CHAINAIS, Rapporteur, École Centrale de Lille – CRIStAL UMR 9189
• Émilie CHOUZENOUX, Examinatrice, Inria Saclay (OPIS) Centre pour la Vision Numérique
• Jean-Yves TOURNERET, Examinateur, INP-ENSEEIHT Toulouse
• Hervé CARFANTAN, Directeur de thèse, Institut de Recherche en Astrophysique et Planétologie (IRAP) – Université Toulouse III Paul Sabatier
• Jérôme IDIER, Co-directeur de thèse, Laboratoire des Sciences du Numérique de Nantes UMR CNRS 6004