Problèmes Inverses Parcimonieux sous contrainte de Positivité en Sciences de l’Univers

Student : Mehdi Chahine AMROUCHE

Advisors : CARFANTAN Hervé CARFANTAN, IDIER Jérôme (LS2N)

Start : Octobre 2018

Group : SISU

La prise en compte d’information de parcimonie des signaux et images a été largement étudiée depuis plus de vingt ans, avec de nombreuses contributions, tant théoriques qu’algorithmiques ou pratiques. Une telle modélisation revient à considérer que les objets étudiés sont une combinaison linéaire d’un faible nombre d’objets élémentaires, appelés atomes, pris dans un dictionnaire comportant un grand nombre d’atomes.
La thèse proposée s’inscrit dans la lignée des travaux menés au sein de l’équipe SISU à l’IRAP, concernant l’exploitation d’un a priori de parcimonie pour des problèmes inverses en sciences de l’univers. Pour certains de ces problèmes particulièrement difficiles, les approches classiques, de type relaxation convexe ou algorithmes glouton, ne sont pas adaptées. En particulier parce que les garanties d’obtention de la solution parcimonieuse exacte ne sont pas valables dans ce contexte. D’autres approches basées sur la modélisation probabiliste, permettant de prendre de façon exacte la parcimonie, comme les modèles Bayésiens hiérarchique de type Bernoulli-Gaussien, ont étés développées. De telles méthodes peuvent être associées à des algorithmes échantillonnage stochastique de type Markov-Chain Monte Carlo. Le point clé de l’utilisation de tels algorithmes est un échantillonnage efficace de la loi a posteriori partiellement marginalisée.
Plus particulièrement, l’objectif de cette thèse visera à prendre en compte un a priori supplémentaire de positivité des amplitudes, contrainte importante pour certaines applications telles que l’analyse de spectres ou de données LIDAR. la prise en compte de la contrainte de positivité dans le modèle Bernoulli-Gaussien ne pose pas de problème sur le plan théorique. Cependant pour des lois a priori Gaussiennes tronquées, la loi marginalisée vis-à-vis des amplitude n’admet pas de forme analytique simple pouvant être exploitée dans des algorithmes d’échantillonnage.
Le sujet proposé consistera à construire une approximation de lois à support positif sous la forme de mélange continu de Gaussiennes pour lesquelles une telle marginalisation redevient possible. Une telle approximation pourra être envisagé dans le cadre de l’échantillonnage stochastique aussi bien que dans le cadre de l’optimisation pour des approches variationnelles.

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